3.4     Persamaan Gerak Harmonik

a).     Simpangan Gerak Harmonik

Gerak harmonik sederhana didapatkan dari proyeksi gerak melingkar beraturan pada sumbu x atau sumbu y.

 

Gambar 3.4. Rangkaian alat sederhana yang memperlihatkan

hubungan antara GMB dan  gerak harmonik sederhana.

 

Perhatikanlah Gambar 3.4. yang memperlihatkan sebuah kereta mainan sedang bergerak melingkar di jalurnya. Saat kereta mainan bergerak di jalur melingkar dengan kecepatan tetap, bayangannya akan bergerak harmonik sederhana. Dalam hal ini, kereta mainan tersebut bergerak melingkar beraturan dan bayangan kereta mainan yang terbentuk akibat cahaya lampu yang diarahkan padanya akan bergerak bolak-balik.

 

Gambar 3.5. Proyeksi titik P yang bergerak melingkar beraturan

pada sumbu x adalah x0 cosθ.

 

 Perhatikanlah Gambar 3.5. Apabila kereta mainan itu diumpamakan sebagai titik P yang bergerak melingkar beraturan dengan kecepatan tetap v0 dan jari-jari lingkaran R = x0, titik P tersebut akan bergerak bolak-balik di antara + x0 dan – x0. Posisi titik P menurut sumbu x dinyatakan sebagai

x = x0 cosθ ……………………………………………………………………(3.10)

Periode (T) adalah waktu yang dibutuhkan untuk melakukan satu putaran penuh. Oleh karena θ = 2π maka waktu yang dibutuhkan oleh titik P untuk bergerak dari titik +x0 hingga ke posisinya digambar adalah

…………………………………………………………………….(3.11)

sehingga, hubungan antara sudut dan waktu dapat juga dituliskan sebagai:

……………………………………………………………………….(3.12)

apabila persamaan (3.12) disubstitusikan ke Persamaan (3.11) didapatkan

………………………………………………….….(3.13)

Kita telah mengetahui bahwa frekuensi berbanding terbalik dengan periode . Dengan demikian, persamaan (3.13) dapat ditulis sebagai

………………………………………………………….…...….(3.14)

Oleh karena (kecepatan sudut), persamaan (3.13) dan (3.14) dapat dituliskan

………………………………………………………………….(3.15)

keterangan: x = simpangan getaran benda (m),

x0 = jari-jari lingkaran atau amplitudo atau simpangan terjauh

getaran benda (m),

ω = kecepatan sudut (rad/s), dan

t = waktu getar (sekon).

Pada persamaan-persamaan yang telah diuraikan, yaitu Persamaan (3.11) sampai Persamaan (3.15) menyatakan gerak melingkar benda yang diproyeksikan terhadap sumbu-x. Apabila gerak melingkar benda diproyeksikan menurut sumbu-y, persamaan posisi benda dinyatakan sebagai y = y0 sinθ sehingga diperoleh persamaan simpangan gerak harmonic sederhana, sebagai berikut.

………………………………………………………………….(3.16)

 

Gambar 3.6. Proyeksi titik P terhadap sumbu y adalah y = y0 sinθ.

 

Gambar tersebut memperlihatkan hubungan antara simpangan (y) terhadap waktu (t) dari persamaan simpangan y = A sin ω t. Dari grafik tersebut dapat diketahui bahwa nilai simpangan (ymaks) = A, yaitu amplitudo simpangan tersebut.

 

b).     Kecepatan Gerak Harmonik

Kecepatan adalah adalah turunan pertama dari fungsi posisi. Hal ini juga dalam gerak harmonik. Kecepatan gerak harmonik secara matematis, dituliskan sebagai berikut.

 

………………………………………………………………….(3.17)

dengan: A =  amplitudo/simpangan maksimum getaran (m),

ω = kecepatan sudut (rad/s), dan

t = waktu getar (sekon).

Apabila persamaan simpangan gerak harmonik dinyatakan dalam arah sumbu x, persamaan kecepatan gerak harmoniknya adalah

 

…………………………………………………………………….(3.18)

Nilai kecepatan maksimum untuk persamaan (3.17) dan (3.18) diperoleh saat nilai cos ωt atau sin ωt = 1 sehingga didapatkan nilai kecepatan maksimum gerak harmonik adalah

vmaks = Aω …………………………………………………………………...(3.19)

Oleh karena sin2ωt + cos2ωt = 1 dan A2 cos2ωt = A2 – A2 sin2ωt, kecepatan getar dapat juga dihitung dengan rumus lain, yaitu maka:

………………………………………………………………....(3.20)

 

c).      Percepatan Gerak Harmonik

Pada persamaan percepatan gerak harmonik dapat ditentukan dari turunan pertama persamaan kecepatan gerak harmonik terhadap waktu. Secara matematis, penulisannya adalah sebagai berikut.

           

………………………………………………………………….(3.21)

Oleh karena A sin ωt = y, persamaan percepatan gerak harmonik dapat dituliskan menjadi:

….……………………………………………………………….......(3.22)

Nilai percepatan maksimum untuk persamaan (3.21) diperoleh saat sin ωt = 1 sehingga nilai percepatan maksimum gerak harmonik dinyatakan sebagai

            ……..………………………………………………………….......(3.23)

Tanda negatif (–) pada persamaan percepatan gerak harmonik menunjukkan bahwa arah percepatan gerak selalu menuju ke titik kesetimbangannya, yaitu y = 0.